루트 2가 무리수임을 n가지 방법으로 증명해보기

루트 2(\(\sqrt{2}\))가 무리수임을 처음 배우는 것은 중학교 3학년 때이다('19 기준). 그 증명을 기억하는가? 기본적으로는, 유리수라는 걸 가정하고, 어찌어찌하다가, 모순을 이끌어내서 유리수라는 가정이 틀렸다는 것으로부터 \(\sqrt{2}\)가 무리수임이 증명된다. 하지만 이 어찌어찌하는 방법은 사실 엄청 많다. 일반 사람들이 많이 아는 것만 해도 2~3가지는 되는 것 같고, 그 외에도 기상천외한 방법이 많이 있다. 그 수많은 방법들을 살펴보자. 그리고, 일반적인 \(\sqrt{n}\)(\(n\)은 완전제곱수가 아닌 자연수)에 대해 확장할 수 있는지 살펴보자.

 

본격적인 증명들을 소개하기 전에, 다음과 같은 사실들을 "믿도록" 하자.

 

I. \(\sqrt{2}\)는 실수이다.

II. 모든 유리수는 \(\frac{a}{b}\) (\(a,b\)는 서로소인 정수, \(b \neq 0\))의 꼴로 나타낼 수 있다.

III. 실수이면서 유리수가 아닌 수는 무리수이다.

IV. 배중률은 참이다.(\(p \vee \neg p\))

V. \(1 < \sqrt{2} < 2 \)이다.

 

1. 간단한 증명

\(\sqrt{2}\)가 유리수라 가정하자. 그렇다면 두 정수의 비율로 나타낼 수 있으므로, \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) (\(a,b\)는 서로소인 정수, \(b \neq 0\))로 나타낼 수 있다. 양변에 \(b\)를 곱하고 제곱하면

$$2b^2 = a^2 \qquad \cdots (1)$$

따라서 \(a^2\)은 짝수이다. 홀수의 제곱은 홀수, 짝수의 제곱은 짝수이므로 \(a\)가 짝수라는 결론이 나온다. \(a=2c\)라 두자. (1)에 대입하면

$$2b^2 = 4c^2, b^2 = 2c^2$$

그러므로 위와 비슷하게 \(b\)가 짝수라는 결론이 나온다. 하지만 맨 처음에 우리는 \(a,b\)가 서로소라고 했다. 그런데 \(a,b\)가 모두 2로 나누어떨어지므로 이는 모순이다. 그러므로 \(\sqrt{2}\)는 무리수이다. 증명 끝!

 

※ 확장

일단은 \(n\)을 \(k^2\times A\) (\(A\)는 무승수) 꼴로 나타낸다. 무승수란, 1을 제외한 어떤 완전제곱수로도 나누어떨어지지 않는 수이다. 이 때 \(A\)의 소인수 하나를 잡아서 위와 같은 논리를 펼칠 수 있다. \(\sqrt{A}\)가 무리수임을 보인다면, \(\sqrt{n}=k\sqrt{A}\)가 무리수라는 것도 자연스럽게 증명된다!

 

◎ 앞으로는 확장 부분을 쓸 때, 별다른 말이 없으면, 위에서와 같이 구한 무승수 \(A\)에 대해서만 서술한다.

 

2. 소인수분해의 유일성을 이용한 증명

\(\sqrt{2}\)가 유리수라 가정하자. 그렇다면 두 정수의 비율로 나타낼 수 있으므로, \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) (\(a,b\)는 자연수)로 나타낼 수 있다. 양변에 \(b\)를 곱하고 제곱하면

$$2b^2 = a^2 \qquad \cdots (1)$$

한편 \(a\)의 소인수분해에서 2의 지수를 \(e_a\), \(b\)의 소인수분해에서 2의 지수를 \(e_b\)라 하면, (1)의 좌변의 소인수분해에서 2의 지수는 \(2e_b+1\)로 홀수인데, 우변의 소인수분해에서 2의 지수는 \(2e_a\)로 짝수이다. 그런데 두 수는 같으므로, 소인수분해의 유일성에 의해 양변의 2의 지수는 같아야 한다. 홀수와 짝수는 같을 수 없으므로 이는 모순. 그러므로 \(\sqrt{2}\)는 무리수이다.

 

※ 확장

마찬가지로 \(A\)의 소인수 하나를 잡아서 같은 논리를 펼칠 수 있다.

 

3. 무한강하법을 이용한 증명 1

\(\sqrt{2}\)가 유리수라 가정하자. 그렇다면 두 정수의 비율로 나타낼 수 있으므로, \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) (\(a,b\)는 자연수)로 나타낼 수 있다.

\(a_0=a, b_0=b\)로 두자. 1번에서와 같은 논리로 \(a_0\)는 짝수이다. \(b_1=\frac{a_0}{2}, a_1=b_0\)로 놓으면

$$\frac{a_1}{b_1} = \frac{2b_0}{a_0} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$

이다. 이제 우리는 하나의 자연수 쌍 \((a_0, b_0)\)로부터 새로운(그리고 여전히 비율이 \(\sqrt{2}\)인) 자연수 쌍 \((a_1, b_1)\)을 얻어냈다. 게다가

$$0 < a_1 + b_1 = \frac{a_0}{2} + b_0 < a_0 + b_0$$

이다. 이 과정을 반복하면 \((a_1, b_1)\)으로부터 또 다른 자연수의 쌍 \((a_2, b_2)\)를 얻어낼 수 있고, 이런 식으로 두 수의 합이 계속해서 줄어드는 자연수 쌍을 무한히 많이 만들어낼 수 있다. 하지만 초기값인 \(a_0 + b_0 = a+b\)는 유한한 값이므로 모순이다. 그러므로 \(\sqrt{2}\)는 무리수이다.

 

※ 확장

\(A\)의 임의의 소인수 \(p\)에 대해 \(a_0\)가 \(p\)의 배수라는 사실을 통해 \(a_0\)가 \(A\)의 배수라는 결론이 나오게 된다. 그렇다면 반복되는 과정에 있는 모든 \(2\)를 \(A\)로 바꿔줄 수 있다.

 

♤ comment

3번까지의 증명이, 간단한 편이고, 설명하기에도 어렵지 않고, 잘 알려진 증명일 것 같다. 그리고 눈치챘을 수도 있지만 세 증명이 매우 유사한 형태를 띄고 있다. 이제부터 나오는 증명들은, 위의 것들보다는 조금 덜 알려진 증명들이 될 것이다.

 

4. 무한강하법을 이용한 증명 2

\(\sqrt{2}\)가 유리수라 가정하자. 그렇다면 두 정수의 비율로 나타낼 수 있으므로, \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) (\(a,b\)는 자연수)로 나타낼 수 있다.

\(a_0=a, b_0=b\)로 두자. \(\sqrt{2}-1 = \frac{a_0-b_0}{b_0}, \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{b_0}{a_0-b_0}\)인데, \((\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=1\)이므로 \(\frac{1}{\sqrt{2}-1} = \sqrt{2} + 1\)이다. 따라서

$$\sqrt{2}+1 = \frac{b_0}{a_0-b_0}, \sqrt{2} = \frac{2b_0-a_0}{a_0-b_0}$$

한편, \(1 < \sqrt{2} < 2\)이므로, \(a_0 < b_0 < 2a_0\)이다. 이로부터 \(0 < a_0-b_0 < a_0, 0 < 2b_0-a_0 < b_0\)가 유도된다. \(a_1 = a_0-b_0, b_1 = 2b_0-a_0\)라 놓는다. 이제 우리는 하나의 자연수 쌍 \((a_0, b_0)\)로부터 새로운(그리고 여전히 비율이 \(\sqrt{2}\)인) 자연수 쌍 \((a_1, b_1)\)을 얻어냈다. 게다가 \(0 < a_1 < a_0, 0 < b_1 < b_0\)이다. 이 과정은 무한히 반복 가능하다. 하지만 처음의 \(a_0 = a\)는 유한한 값이므로 이는 모순이다. 그러므로 \(\sqrt{2}\)는 무리수이다.

 

※ 확장

원래의 수 \(n\)에 대해서 바로 적용해보도록 하자!

\(n=k^2 + t\) (단, \(k^2 < n < (k+1)^2\))이라 하자. 위와 비슷한 과정으로 \(\sqrt{k^2 + t} = \frac{(k^2+t)a_0-kb_0}{b_0-ka_0}\)를 유도할 수 있다. 이제 해야 할 일은, 이렇게 나온 분모와 분자가 각각 \((0,a_0), (0,b_0)\) 안에 들어오는가를 확인하는 것이다. 그리고 그것을 확인하기 위해 사용할 수 있는 식은 \(ka_0 < b_0 < (k+1)a_0\)이다.

분모에 대한 식 \(0 < b_0-ka_0 < a_0\)은 바로 유도된다. 분자가 문제인데, 양쪽 부등식을 차근차근 해 보자.

$$(k^2+t)a_0-kb_0 > 0 \Longleftrightarrow \frac{b_0}{a_0} < \frac{k^2+t}{k} \Longleftrightarrow k^2+t < \left(\frac{k^2+t}{k}\right)^2 \Longleftrightarrow k^2 < k^2 + t$$

$$(k^2+t)a_0-kb_0 < b_0 \Longleftrightarrow \frac{b_0}{a_0} > \frac{k^2+t}{k+1} \Longleftrightarrow k^2+t > \left(\frac{k^2+t}{k+1}\right)^2 \Longleftrightarrow (k+1)^2 > k^2 + t$$

따라서 \(0 < (k^2+t)a_0-kb_0 < b_0\)임이 증명되었다! 이제 같은 논리를 적용할 수 있게 되었다.

 

♤ comment

처음 이 증명을 접하고, 식을 정말 아름답게 다루는 풀이라고 생각했다. 계수 같은 것들도 절묘하게 맞아 떨어졌는데, 확장을 해 보니까 왜 실제로 맞아 떨어지는지를 확인해볼 수 있었다. 확장 부분에서는, 처음엔 \(ka_0 < b_0 < (k+1)a_0\) 이외에 다른 조건이 필요할 거라고 생각했는데, 신기하게도 필요가 없었다.

 

5. 최대공약수 정리를 이용한 풀이

일단 최대공약수 정리가 무엇인지부터 보도록 하자.

"\(\gcd(a,b)=d\)라 하면, \(ax+by=d\)인 정수 \(x,y\)가 존재한다."

자세한 내용 및 증명은 https://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zout%27s_identity을 참고하면 될 것 같다.

 

본 증명

\(\sqrt{2}\)가 유리수라 가정하자. 그렇다면 두 정수의 비율로 나타낼 수 있으므로, \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) (\(a,b\)는 서로소인 정수, \(b \neq 0\))로 나타낼 수 있다. 이 때 최대공약수 정리에 의해

$$ax+by=1 \qquad \cdots (1)$$

인 두 정수 \(x,y\)가 존재한다. (1)의 양변에 \(\sqrt{2}\)를 곱하면

$$\sqrt{2}ax+\sqrt{2}by=\sqrt{2}$$

이다. 한편 \(\sqrt{2}b = a, \sqrt{2}a = 2b\)로부터

$$2bx+ay=\sqrt{2}$$

이다. 좌변은 정수인데 우변은 1보다 크고 2보다 작으므로 정수가 아니다. 이는 모순이다. 그러므로 \(\sqrt{2}\)는 무리수이다.

 

※ 확장

이것도 원래의 수 \(n\)에 대해서 바로 적용할 수 있다. \(2\)를 \(n\)으로 고쳐도 정확히 성립한다!